Funciones Racionales

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios, en esta publicación mostraremos tres casos gráficos de funciones racionales con requisitos distintos en cada caso, a partir de las cuales analizaremos los cambios que sufre cada gráfica según las especificaciones correspondientes.

Gráfica de la función f(x)= k/x^n donde k >0 y n es impar

En este caso donde la función toma en k valores mayores a cero y el exponente de x en el denominador (n) es impar, podemos observar la gráfica que se forma, en la cual vemos una asíntota vertical. Una asíntota es aquella recta imaginaria que nos demuestra que por lo menos un valor de la función tiende a ∞, por lo cual, la gráfica se tocará en un punto cualesquiera dentro del infinito, existen tres tipos de asíntota; vertical, horizontal y oblicua. 

En la gráfica de esta función podemos observar una asíntota vertical la cual se encuentra en el eje y, al igual que una asíntota vertical ubicada en el eje x la cual mostrará el centro de la hipérbola formada por la función.

Al cambiar los valores de n y k podemos observar las variaciones que tiene la gráfica, por ejemplo, al poner cierto valor puede que la hipérbola se aproxime o se aleje del cero, se aproxime ya sea al eje y o x, y cómo cambia la asintota. Puedes interactuar con la gráfica moviendo los deslizadores que vienen ahí y comprobar por ti mismo lo que se trata de explicar en este breve texto.

Gráfica de la función f(x)= k/x^n donde k >0 y n es par

Cuando la función toma en k valores mayores a cero, y el exponente de x (n) en el denominador, toma valores pares únicamente, podemos observar que la gráfica viene de izquierda a derecha hacia arriba en el segundo cuadrante y de derecha a izquierda hacia arriba en el primer cuadrante, por lo cual se entiende que la gráfica tocará en algún punto del eje y positivo, la gráfica posee una asíntota vertical.

Gráfica de la función f(x)= k/x^n donde k  es cualquier valor positivo o negativo y n puede ser par o impar

En esta gráfica se pueden observar varios cambios dependiendo de los valores que tome el numerador (k) y el exponente de x (n); cuando k es positivo y n es par, podemos observar que la gráfica ocupa únicamente el 1er y 2do cuadrante, cuando k toma un valor negativo pero n sigue siendo par, la gráfica ocupa el 3er y 4to cuadrante; cuando k es positivo pero n es impar la gráfica ocupa el 1er y 3er cuadrante, cuando k cambia sus valores a negativo, los cuadrantes que ocupa son el 2do y 4to; en el caso, cuando k tome el valor de 0 y n tome un valor ya sea par o impar, se verá una recta horizontal sobre el eje x. 

Dentro de estas representaciones gráficas, únicamente encontramos asíntotas verticales y en algunas horizontales pero ninguna asíntota oblícua, a continuación les dejo unas imágenes de cada tipo de asíntota para su mejor comprensión gráfica, esperando también la mayor comprensión del tema.

Asíntota Horizontal:

Asíntota Oblicua y Vertical:

Asíntota Vertical:

Función cuadrática como caso particular de la función polinomial

La forma general de la función cuadrática estudiada en cursos anteriores es: f(x)=ax²+bx+c

en donde a, b, c son costantes y a ≠ 0.

La gráfica que genera es una parábola, la cual abre en el eje Y, su orientación dependerá directamente del coeficiente principal de la función polinomial, es decir, del valor de a en la forma general de la ecuación cuadrática. El signo del parámetro de a de una ecuación cuadrática determina hacia dónde abre su gráfica y su magnitud determina la abertura de esta.

• Si a es positiva, la parábola se abre hacia arriba.
• Si a es negativa, la parábola se abre hacia abajo.

Responde las siguientes preguntas de acuerdo a la gráfica que está a continuación:

• ¿Qué diferencias y qué similitudes observas en las gráficas de las funciones y=-4x²+16  y  y=-x²+16?
• Según la gráfica de la ecuación y=1/2x²+16, ¿cuál es la diferencia respecto a las gráficas anteriores?

Las primeras 2 funciones son negativas, por lo tanto la abertura de ambas es hacia abajo, pero cambian únicamente en el ancho de la misma.

En la tercera gráfica, color naranja, podemos observar que gracias a que es positiva su abertura es hacia arriba.

Las parábolas formadas se originan en el eje Y, la diferencia de signos cambia la abertura de las mismas.

Traslaciones de gráficas de funciones

Como parte de los temas que estamos viendo en la materia de Matemáticas IV, se encuentra el tema de "Traslaciones de gráficas de funciones", como parte del tema realizamos algunos ejercicios utilizando hojas de cálculo en Excel y/o gráficas en GeoGebra.

A continuación les dejo el ejercicio acerca de traslaciones verticales:

Después de realizar  las tabulaciones correspondientes y sus gráficas, teníamos que contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Qué ocurre con la gráfica de f(x)=x² con respecto a f(x)=x²+1?

• Su desplazamiento es vertical, un espacio hacia arriba.

b) ¿Y con respecto a f(x)=x²-1? 

• Su desplazamiento es vertical pero un espacio hacia abajo

c) Escriban sus conclusiones:

• El desplazamiento dependerá del signo que posea la constante, si se le suma o resta una constante, la gráfica subirá o bajará de lugar respectivamente.

Pariedad de funciones: Funciones pares e impares.

Clasificación de Funciones

¿Qué son las funciones?

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En el transcurso de éste semestre estudiaremos tres tipos de funciones: funciones algebraicas, funciones trascendentales y funciones especiales.

Funciones Algebraicas:

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por sustitución:

f(x) = 5x – 2

Por otro lado en las funciones implícitas no es posible obtener las imágenes de x por simple sustitución, por lo cual es necesario efectuar operaciones:

5x – y – 2 = 0

Ejemplo:

No siempre se puede hacer uso de las funciones del tipo algebraico, por esta razón se han desarrollado otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se pueden clasificar en: las trigonométricas y sus inversas y las logarítmicas y exponenciales.

Una función trascendente es entonces aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes serían los siguientes:

Ejemplo: f(x)=cos(x)

Hay funciones que no entran en alguna de las otras categorías, por lo cuales son llamadas especiales, dentro de esta clasificación se encuentran las siguientes funciones:

Función Constante

Función Identidad

Función Valor absoluto

Función Escalonada

Su gráficas son muy particulares y de igual manera mantiene un su domino y su rango determinado por la expresión o por la situación dónde se aplique. A continuación un ejemplo de una de estas funciones.

Ejemplo de valor absoluto: f(x)=|x|

Aquí termina la materia de Matemáticas III, para dar inicio a Matemáticas IV, espero el blog siga siendo de su agrado.